অসংজ্ঞায়িত ও অনির্ণেয় এর গল্প

 Undefined বা অসংজ্ঞায়িত এবং Indeterminate বা অনির্ণেয় এই শব্দ দুটির সাথে পরিচিতি একদম ছোটো বেলা থেকে হলেও এই দুটো জিনিসের পার্থক্য করতে গিয়ে গোলমাল পাকিয়ে ফেলেনি এমন লোক খুঁজে পাওয়া ভার। এমনকি আমাদের পাঠ্যবইয়েও সম্পূর্ণ আলাদা দুটি জিনিসকে নিয়ে গোলমাল পাকিয়ে আমাদেরকে বিভ্রান্ত করতে বাকি রাখেনি। চলুন আজকে এই মজার দুইটি বিষয় নিয়ে স্বচ্ছ ধারণা আহরণের চেষ্টা করি।

Undefined: একে বাংলায় অসংজ্ঞায়িত বলে। অর্থাৎ যা সংজ্ঞায়িত করা যায় না। সহজ ভাষায় এর কোনো সলিউশন নেই, বা গাণিতিকভাবে অর্থহীন। এর সবচেয়ে কমন উদাহরণ হলো 1/0 , এখন 1 টাকা কে যদি 0 জন মানুষের কাছে ভাগ করতে বলা হয় তাহলে কি তা সম্ভব? নিশ্চয়ই না। চলুন গাণিতিক ভাবে ব্যাখ্যা করি।

ধরি,f(x)=1/(কিন্তু পাঠ্য বই পাশে ছোট করে লেখা থাকে x is not equal to 0).
যা বোঝায় যে এই ফাংশনে 0 ডোমেনের বাইরের সংখ্যা যা উক্ত ফাংশনে ইনপুট দিলে কোনো আউটপুট পাওয়া যায় না। কোনো ফাংশন এর ডোমেন হচ্ছে সে সকল সংখ্যা যে সব আমরা ফাংশন এ ইনপুট আকারে দিতে পারবো। কিন্তু এখানে কিন্তু x=0 দিতে পারব না।
বিষয়টি লিমিট ও সংখ্যা রেখা ব্যবহার করে বোঝার চেষ্টা করি। 1/x এ x এর জায়গায় সরাসরি শূন্য(0) না বসিয়ে শূন্যের কাছাকাছি কিছু একটা বসাই।সংখ্যা রেখায় খেয়াল করলে দেখা যাবে শূন্যের কাছাকাছি দুইভাবে আসা যায়। একটি বাম দিক থেকে। বাম দিক থেকে শূন্যের কাছাকাছি আসলে ঋণাত্মক(-) অত্যন্ত ছোট কোনো সংখ্যা কে বোঝায়। সুতরাং, ঋণাত্মক অত্যন্ত ছোট কোনো সংখ্যা 1 দিয়ে ভাগ করলে, ঋণাত্মক অত্যন্ত বড় কোনো সংখ্যা পাওয়া যাবে। তাই এই এক্সপ্রেশনটি আমাদের কে -∞ এর দিকে নিয়ে যায়।
আবার, ডান দিক থেকে শূন্যের কাছাকাছি আসলে ধনাত্মক(+) অত্যন্ত ছোট কোনো সংখ্যা পাই। এই সংখ্যা যদি 1/x এ বসাই তবে ধনাত্মক অত্যন্ত বড় কোনো সংখ্যা পাওয়া যাবে। সুতরাং এই এক্সপ্রেশনটি আমাদের কে +∞ এর দিকে নিয়ে যায়। একই সাথে একটা প্রবলেম দুদিকে যাওয়া কোনো ভাবেই সম্ভব নয়। গাণিতিক ভাবে যা যুক্তিহীন। কেনো না আমরা তখন ই কোনো একটা কিছু সংজ্ঞায়িত বলি যখন এর নির্দিষ্ট একটি মান থাকে। আবার 1/0=x ধরে নিলে 1=0.x হয়। এই সমীকরণে x এর যেই মান ই বসাই না কেন ফলাফল 0 হবে। কিন্তু 1=0 তো হতে পারেনা। যা গণিতের ভাগের নিয়মকে ব্রেক করে। অর্থাৎ এর সলিউশন বের করতে গেলে গণিতের বেসিক রুলস গুলো ব্রেক হয়ে যাবে। সবশেষে বলা যায় 1/0 অর্থাৎ undefined বা অসংজ্ঞায়িত গাণিতিকভাবে কোনো অর্থ বহন করে না।

Indeterminate: একে বাংলায় অনির্ণেয় বলা হয়। মানে হলো যা নির্ণয় করা যায় না বা যা নির্ণয় করার জন্য যথেষ্ট পরিমাণ তথ্য নেই আমাদের হাতে নেই।
সবচেয়ে পরিচিত একটি উদাহরণ হলো 0/0
ধরি,0/0=x
বা, 0=0.x
এখন x এর মান যাই বসাই না কেনো(-∞ থেকে +∞) উক্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করবে। অর্থাৎ মান শূন্যই হবে।কিন্তু মজার ব্যাপার এই যে ঠিক কত বসাবো তা আমরা নির্দিষ্ট করে বলতে পারছি না।অর্থাৎ সে তথ্য আমাদের কাছে নেই। আবার একে নির্ণয় করতে গিয়ে গণিতের বেসিক রুলসও ব্রেক হবে না, যেহেতু ডান পক্ষের মান সবসময় 0 ই হবে যা বাম পক্ষের সমান।
সহজ ভাষায় +∞ থেকে -∞ সকল বাস্তব সংখ্যাই এর উত্তর হতে পারে কিন্তু কোনটি হবে আপনি তা নির্ণয় করতে পারছেন না। অসংখ্য পসিবিলিটিজ তাই indeterminate বা অনির্ণেয় অর্থাৎ নির্ণয় যোগ্য নয়।
কি ভাবছেন গণিত থেমে আছে? হাহা, মোটেই না। Limit ব্যবহার করে Indeterminate এর মান কোনো একটা নির্দিষ্ট পয়েন্টে কী হতে পারে তা বের করা সম্ভব!
Indeterminate এর কিছু ফর্ম হলো : 0/0, ∞-∞,0×∞,0^0,1^∞,∞^0.

লেখা: MD ZUBAYER RAHMAN OMIO
Department: EEE
Session: 2022-2023
University of Rajshahi
Courtesy: Asikuzzaman Rasel (BUET,EEE-2009) and many others.